[Python] 백준 1011번 Fly me to the Alpha Centauri (골드5)

문제

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 2^31)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 횟수를 출력한다.

예제 입력 1

3
0 3
1 5
45 50

예제 출력 1

3
3
4

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풀이

재귀함수를 정의하고 푸는 방법도 존재하지만, 숫자가 조금만 커져도 굉장히 오래 걸립니다.

이럴 땐, 알고리즘을 적용하는 코드를 짜기 전에 숫자의 규칙을 찾고 간단한 규칙을 코딩 해보려고 노력합시다.

Point

• 수학 (수열의 규칙 찾기)

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소스코드

def least_k(dist):
    i = 2
    plus = 1
    iter = 1
    if dist == 1 :
        return 1
    while i < dist:
        iter += 1
        if iter%2 == 0:
            plus+=1
        i += plus
    return iter+1

for _ in range(int(input())):
    x,y = map(int,input().split())
    print(least_k(y-x))

 

우선, x, y 값이 주어지는데, 사실 그 사이 거리 distance = y-x 만 중요하다는 것은 자명합니다.

그럼, 이 distance가 변함에 따라 얼만큼의 도약이 필요한 지 유추해봅시다.

distance	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1+1	1+1+1	1+2+1	1+2+1+1	1+2+2+1	1+2+2+1+1	1+2+2+2+1	1+2+3+2+1	1+2+3+2+2+1
도약 횟수	1	2	3	3	4	4	5	5	5	6

 

distance를 쪼개었을 때, 1+2+1 이나 1+2+3+2+1 의 대칭 양상 중 최대치가 나오는 시점의 다음 distance에서 도약 횟수가 1회 증가하는 패턴을 보입니다.

이렇게 10까지만 지켜본 심증을 갖고, 왜 이런 패턴이 생기는 지 이해해봅시다. (엄밀한 증명과 납득할 만한 증명 사이입니다.)

임의의 distance, d 에 대한 최소 도약 횟수를 수열 f(d)로 생각해 봤을 때,

이 수열은 우상향하며, 직전 도약 횟수 f(d-1) 대비 최대 +1 씩 증가할 수밖에 없습니다.

1) 최소 도약 횟수는 감소하지 않는다 :

    d    는 1+...+1+1 혹은 1+...+2+1 형태를 갖는다.

    d-1 은 1+...+1     혹은 1+...+1+1 형태를 갖출 수 있다.

    => f(d-1)은 항상 f(d)보다 작거나 같다.

    => f(d)는 f(d-1)보다 항상 크거나 같다.

2) 동일한 N에 대해, f(d)=N인 최대 d값을 구해보자 :

    a) N 이 홀수(2n-1)일 때 : max(d) = 1+2+3+...+ n-1 + n + n-1 +...+3+2+1

    b) N 이 짝수(2n)   일 때 : max(d) = 1+2+3+...+ n-1+ n + n + n-1 +...+3+2+1

    => f(d) = N 일 때, d가 갖을 수 있는 최댓값은 위와 같은 대칭 양상을 갖는다.

3) f(d)가 증가할 때에는, 항상 1 증가한다.

    f(d) = N 인 최대값 max(d)= 1+2+...+2+1이다.

    => max(d)+1 = 1+2+...+2+1+1 로 항상 나타낼 수 있다.

    => f(max(d)) < f(max(d)+1)

    => N < f(max(d)+1)

    모든 N에 대해 f(max(d)+1)= N+1으로 표현할 수 있기 때문에, f(d)는 항상 1씩 증가한다.

 

위의 세가지를 합치면, 최대 대칭 형태가 나오는 k 다음의 f(d+1) 값은 1이 증가한다.

이제부터는 최대 대칭 형태가 나오는 패턴만 알면 됩니다.

1

1+1

1+2+1

1+2+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+3+2+1

 

증가량을 보면, 1 ,2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6,...

이런식으로 2회마다 증가량이 1씩 증가합니다.

Line 1~12

def least_k(dist):
    i = 2
    plus = 1
    iter = 1
    if dist == 1 :
        return 1
    while i < dist:
        iter += 1
        if iter%2 == 0:
            plus+=1
        i += plus
    return iter+1

 

입력값 dist는 위에서 다룬 d 값입니다.

i 는 dist값보다 커질때까지 (1+1), (1+2+1), (1+2+2+1), ... 식으로 증가하는 최대 대칭 형태입니다.

plus는 i에 더해질 증가량입니다.

iter은 문제의 정답이 될 f(dist)값입니다.

 

distance가 1인 경우부터 따지기 귀찮으므로, 초기 i 값은 2 (= 1+1) 로 설정합니다.

증가량 plus는 2회마다 1 증가합니다.

iter은 i 에 증가량이 붙을 때마다 1씩 증가합니다.

 

Line 14~16

for _ in range(int(input())):
    x,y = map(int,input().split())
    print(least_k(y-x))

 

Test Case의 횟수를 input()으로 받아 그만큼 실행을 반복합니다.

각 Test Case 마다 위에서 정의해준 함수로 최소 도약 횟수를 출력해줍니다.